Элементы строительных конструкций изготавливаются из различных материалов — металлов, бетона, дерева, полимеров и др. Их структура и физические свойства
мoгyт быть весьма разнообразны. Однако в сопротивлении материалов удобно пользоваться некоторым условным материалом, наделенным определенными идеализированными свойствами деформирования. Рассмотрим эти свойства.
Изменение размеров и формы тела под действием нагрузки называют деформацией тела.
На рис. 1.7 изображены три характерные диаграммы деформирования, связывающие значения силы F и деформации Δl при нагружении и разгрузке.
Часть суммарной деформации, исчезающая после снятия нагрузки, называется упругой (Δl упр). Деформация, остающаяся после разгрузки, называется остаточной или пластической (Δl ост= Δl пл).
В общем случае при достаточно больших нагрузках материалы проявляют упругие и пластические свойства, так что Δl = Δl упр + Δl пл. Такой материал называют упруго-
пластическим (рис. 1.7, а).
Если остаточные деформации очень малы, то ими можно пренебречь. Материал, в котором возникают только упругие деформации, называют идеально-упругим.
Если диаграмма деформирования выражена нелинейной зависимостью, то материал называют нелинейно-упругим (рис. 1.7, б), если линейной зависимостью — линейно упругим (рис. 1.7, в). Сформулируем теперь допущения о свойствах условного материала.
Материал элементов конструкций будем в дальнейшем считать сплошным, однородным, изотропным и линейно-упругим.
Свойство сплошности, которым наделяется условный материал, говорит о том, что не учитывается конкретная структура материала (зернистая, кристаллическая и др.),
и считается, что материал непрерывно заполняет весь объем элемента конструкции. Свойство однородности означает, что весь объем материала обладает одинаковыми
механическими свойствами. Наконец, изотропным называют материал, у которого механические свойства во всех направлениях одинаковы. В противном случае его называют анизотропным.
Использование понятия условного материала существенно упрощает изучение механики деформирования элементов конструкций. Соответствие условного материала реальным материалам достигается тем, что в расчет элементов
конструкций вводятся экспериментально получаемые усредненные количественные характеристики механических свойств реальных материалов.
Заметим, что в ряде случаев мы будем отступать от принятых допущений. В частности, кроме упругих будем учитывать и пластические деформации, о чем будет оговорено
особо.
Внутренние силы и напряжения
Между частицами твердого тела до приложения внешних нагрузок действуют внутренние силы, обеспечивающие неизменность eгo формы. Под влиянием приложенных нагрузок силы взаимодействия получают приращения, между частицами тела несколько изменяются paccтoяния и тело деформируется.
В сопротивлении материалов под внутренними силами будем понимать приращение сил взаимодействия между частицами, возникающих при его нагружении.
В условном материале ( сплошном и однородном, как было показано выше) внутренние силы передаются сплошным потоком от одной части тела к другой через разделяющую эти части воображаемую поверхность. При этом в общем случае внутренние силы непрерывно и неравномерно распределены по этой поверхности. На каждой малой площадке, принадлежащей упомянутой поверхности, поток внутренних сил характеризуется значением и направлением вектора интенсивности внутренних сил. Введем количественную меру интенсивности потока внутренних сил в деформируемом теле.
Понятие о напряжении
На рис. 1.8, а тело рассечено плоскостью и в этом сечении в рассматриваемой точке М выделена малая площадка ΔА n, ее ориентация в пространстве определяется нормалью площадки n. Определим вначале среднюю интенсивность на площадке:
Для того чтобы охарактеризовать внутренние силы, именно в точке М будем стягивать площадку ΔА n к точке.
Тоrда получим
Интенсивность внутренних сил p n, передающихся в точке через выделенную площадку, называется напряжением на данной площадке. По своей природе напряжение р n — это поверхностная нагрузка, возникающая на внутренних поверхностях соприкасания частей тела. Поэтому напряжение, как и интенсивность
внешней поверхностной нагрузки, выражается в единицах силы, отнесенных к единице площади:
Па=Н/м2 (кгс/см2 , тс/м2 и т. д.).
Вектор р n выражает так называемое полное напряжение на данной площадке. Разложим. его на составляющие (рис. 1.8, б) так, что
Заметим, что в дальнейшем будем иметь дело главным образом не с полным напряжением, а с его составляющими.
В общем случае на площадке могут возникать два вида напряжений: нормальное и касательное.
Понятие напряжения является фундаментальным для всей механики деформируемого тела. Во многих случаях прочность материала в окрестности данной токи определяется
именно напряжениями. Чтобы это проиллюстрировать, представим такой опыт: бумажную полоску, усиленную на концах приклеенными картонными накладками,
будем растягивать, силой F вдоль оси и вблизи края полоски. Легко убедиться, что при одной и той же силе F в первом случае полоска бумаги остается целой, а во втором — рвется у растянутого края, что объясняется неравномерным распределением нормальных напряжений в ее поперечном сечении с максимумом в крайних точках
сечения.
Приведенный пример говорит о том, как важно уметь вычислять напряжения в точках деформируемого тела.
Обозначения напряжений.
При анализе напряжений в окрестности рассматриваемой точки М (рис. 1.8, в)
выделяют бесконечно малый элемент в форме параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz. Если полные напряжения pz, py и pz, Рж, действующие на его гранях, разложить
на составляющие, то в общем случае на каждой грани получим одно нормальное и два касательных напряжения. Для трех граней элемента они образуют так называемый тензор напряжений
Здесь первый столбец состоит из компонент напряжений, действующих на площадках, нормальных к оси х, второй — к оси у, третий — к оси z.
Первый индекс у напряжения, например t xy, говорит о том, что оно действует на площадке с нормалью параллельной оси х, а второй — о том, что вектор напряжений параллелен оси у. У нормального напряжения оба индекса совпадают, поэтому ставится один индекс.
Как видим, первый индекс служит своеобразным адресом площадки, а второй — указателем направления касательного напряжения.
Силовые факторы в поперечном сечении стержня и их выражение через напряжения.
Рассмотрим некоторое поперечное сечение нагруженного стержня (рис. 1.9, а). Внутренние силы, распределеные по сечению, приведем к главному вектору R, приложенному в центре тяжести сечения, и главному моменту М. Далее разложим их на шесть компонент: три силы N, Qx, Qy и три момента Мx, Мy, Мz, называемые внутренними усилиями или силовыми факторами в поперечном сечении.
Компоненты главного вектора и главного момента внутренних сил, распределенных по сечению, называются внутренними усилиями в сечении.
Каждая компонента имеет характерное наименование:
N — продольная сила в сечении, связанная с деформацией растяжения или сжатия
Qx, Qy — поперечные силы в сечении, возникающие при стремлении к срезу по поперечному сечению в направлении осей x и y.
Мx, Мy — изгибающие моменты в сечении относительно осей х и у, возникающие при изгибе соответственно в плоскостях yz и xz.
Mz — крутящий момент, возникающий при стремлении к относительному повороту двух частей cтepжня вокруг оси z.
Выразим внутренние усилия через напряжения, действующие в поперечном сечении, предполагая их известными в каждой его точке (рис. 1.9, б). Элементарные силы на площадке dA в этой точке будут
Проецируя все элементарные силы на оси х, у, z и суммируя моменты этих сил относительно этих осей по всему сечению, получим
