Метод определения внутренних усилий
При действии на тело внешних сил оно деформируется. Следовательно, меняется взаимное расположение частиц тела; в результате этого возникают дополнительные силы взаимодействия между частицами. Эти силы взаимодействия в деформированном теле будем называть внутренними силами (усилиями). Для решения задач сопротивления материалов необходимо уметь определять значение и направление внутренних усилий, например в задачах, где оценивается: прочность конструкции. При их определении применяется метод сечений.
Рассмотрим тело, имеющее форму бруса и находящееся в равновесии под действием системы внешних сил F, (самоуравновешенной системы сил). Пусть требуется определить внутренние усилия в произвольном сечении а — а этого бруса (рис. 2.1, а).
Мысленно рассечем его по сечению а — а на две части и отбросим одну из частей,
например часть I ( обычно оставляется та часть, при рассмотрении которой получается: более простое решение). Оставшаяся: часть II в общем случае не будет находиться в равновесии. Для сохранения этой части бруса в равновесии необходимо к ней приложить систему усилий,
распределенных по сечению а — а (рис. 2.1, б).
Эти усилия и есть внутренние усилия в сечении а — а рассматриваемого бруса. Они заменяют собой действие отброшенной части I (вместе с приложенными к ней внешними силами) на оставшуюся: часть II. Внутренние усилия, согласно закону о равенстве действия и противодействия, которые приложены к части II в сечении а — а, равны и противоположны по направлению внутренним усилиям, действующим на часть II в том же сечении.
В соответствии с правилами статики приведем систему внутренних усилий, действующих на часть II в сечении а — а, к главному вектору R и главному моменту М, приложенным в центре тяжести этого сечения. Выберем систему координат х, у, z с началом в том же центре тяжести (точка О). Ось z направим по внешней нормали к сечению, а оси х, у расположим в его плоскости (рис 2.1, в).
Разложим главный вектор и главный момент на составляющие по координатным осям х, у, z. В результате получим шесть составляющих, которые принято называть внутренними силовыми факторами или внутренними усилиями.
Составляющие главного вектора носят названия:
усилие вдоль оси z — продольной силы N;
усилия вдоль осей х в у — поперечных cил Qx и Qy, соответственно.
Составляющие главного момента носят названия:
момент относительно продольной оси z — крутящего момента Mz.;
моменты относительно осей х и у — изгибающих моментов Мх и Мy соответственно (рис. 2.1, в).
Таким образом, после приложения в сечении а — а к части II усилий, заменяющих собой действие отброшенной части I (в общем случае шести силовых факторов), оставшаяся часть II, нагруженная приложенными к ней внешними силами, находится в равновесии. Поэтому для части II можно записать шесть уравнений равновесия:
Напомним основные правила составления уравнений равновесия:
- Проекция силы на ось равна произведению силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.
- Если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на ось равна нулю.
- Момент силы относительно оси равен произведению проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, на плечо силы.
- Момент силы относительно оси равен нулю если сила параллельна оси или если линия действия силы пересекает ось.
Из первых трех уравнений равновесия (2.1) соответственно находим усилия Qx, Qy и N, а из трех последних — соответственно момеyты Мx, Мy и Мz.
Заметим, что знак у этих усилий, получаемый из решения уравнений (2.1 ), указывает на правильность (знак плюс) или неправильность (знак минус) выбранных направлений внутренних усилий.
Таким образом, метод сечений дает возможность определить в сечении направление и значение равнодействующих внутренних усилий (или их компонент). Закон же распределения внутренних усилий по сечению остается неизвестным. Для решения этого вопроса необходимо знать, как деформируется данный брус под действием
внешних сил, приложенных к нему.
Применение метода сечения для определения значений и направлений внутренних усилий рассмотрим на следующем примере.
Пример 2.-1. Для пространственного стержня (рис. 2.2, а) определить
значения и направления внутренних усилий в сечениях I-I и II-II.
Решение.
Для определения значений и направлений внутренних усилий в сечениях применим метод сечений.
Сечение I-I. Рассечем пространственный стержень в сечении I-I плоскостью, которая перпендикулярна оси стержня BC (рис 2.2.б). Одну часть стержня, например содержащую заделку, отбросим и действие ее на оставшуюся часть заменим шестью внутренними усилиями, приложенными в сечении.
Заметим, что в стержне, закрепленном при помощи жесткой заделки, целесообразно оставлять ту часть стержня, которая не закреплена, так как тогда не потребуется определять опорные реакции.
Далее выберем прямоугольную систему осей x, y, z, совместив начало координат с центром тяжести сечения I-I. Ось z направим вдоль оси рассеченного стержня BC (в сторону внешней нормали сечения), а оси x и y расположим в плоскости его поперечного сечения, как показано на рис 2.2 б. Такой выбор осей является обязательным.
Внутренние усилия направим вдоль соответствующих положительных осей, внутренние усилия моментов — по ходу часовой стрелки при взгляде на оставшуюся часть со стороны положительного направления тех же осей. Такие направления внутренних сил будем считать положительными.
Часть стержня, нагруженная внешними силами F, 2F и усилиями, приложенными в сечении I-I, находится в равновесии (рис.2.2,б). Для этой части стержня составим шесть уравнений равновесия, из решения которых определим внутренние усилия в сечении I-I
Таким образом, в сечении I-I действует четыре внутренних усилия (Qx = 0 и Мy=0), причем два из них — N и Mx — в направлении, противоположном принятому (на рис.2.2 б действительные направления их показаны пунктиром).
Сечение II-II.
Рассечем стержень в сечении II-II плоскостью, перпендикулярной оси стержня CD. Часть стержня, содержащую жесткое закрепление, отбросим. Выберем систему координат x, y, z и действие отброшенной части на оставшуюся заменим шестью внутренними усилиями, как показано на рис.2.2 в. Эта часть стержня находится в равновесии, составим для нее уравнения равновесия:
Следовательно, в сечении II-II возникает четыре внутренних усилия (Qy=0 и Mx=0), причем два из них — Qx и Mx направлены в обратную сторону (рис 2.2 в).
Как видно из рассмотренного примера, внутренние усилия, возникающие в поперечных сечениях стержня, меняются вдоль его продольной оси. Для более наглядного представления характера изменений внутренних усилий вдоль оси z строят их графики.
Графики изменения внутренних усилий вдоль продольной оси стержня называются эпюрами.
Эпюры внутренних усилий, как правило, строят для того, чтобы наметить опасные сечения, т. е. сечения, в которых существует большая вероятность наступления
разрушения из-за того, что там внутренние ycилич достигают наибольших значений.
При построении эпюр сначала устанавливают границы участков, в пределах которых внутренние усилия изменяются по одной закономерности. Границами таких участков являются сечения, где приложены внешние сосредоточенные усилия (момент, сила) или начинается и кончается распределенная: нагрузка, а также сечения, в которых имеется перелом оси стержня.
Далее, применяя метод сечений и учитывая правила знаков, получают аналитические зависимости изменения внутренних yсилий в пределах каждого участка. Затем, используя их, строят графики этих усилий — эпюры. При этом ординаты эпюр внутренних усилий в определенном масштабе откладывают от базисной линии, которая проводится параллельно оси стержня. Построенную эпюру принято штриховать линиями, перпендикулярными базисной линии. Кроме того, на эпюрах для характерных ординат обязательно указывать их значения, а в кружочке — знак усилия.