Рассмотрим стержень, находящийся в равновесии под действием произвольных нагрузок (рис. 1.27, а).
Отнесем стержень к декартовой системе координат, направив ось Ох вдоль оси стержня и расположив оси Оу, Oz в плоскости его поперечного сечения. Рассечем мысленно стержень плоскостью, перпендикулярной к оси, перенесем начало отсчета в центр тяжести поперечного сечения и покажем действующие в произвольной его точке напряжения (рис. 1.27, 6).
Полное напряжение Рх разложим по осям координат на нормальное напряжение и касательные напряжения.
Остановимся на обозначении напряжений на площадке с нормалью, параллельной оси Ох ( такая
площадка называется координатной). У нормального напряжения индекс показывает направление его действия. У касательных напряжений первый индекс указывает направление действия напряжения, а второй направление нормали к площадке, на которой оно действует. Напряжения в данной точке связаны между собой соотношением
Интегрирование производится по всей площади поперечного сечения F.
Величины (1.6) называются внутренними усилиями в поперечных сечениях стержня, соответственно N-продольная (нормальная) сила, М у и М z-изгибающие моменты, Q У и Q z-поперечные силы и М х = М к-крутящий момент (рис. 1.28, а, б).
Внутренние усилия в стержне определяются с помощью метода сечений. В общем случае они переменны по длине стержня, то есть являются функциями координаты точек его оси. Графики этих функций, построенные в соответствующем масштабе, называются эпюрами внутренних усилий. Эпюры строятся на оси стержня и заштриховываются перпендикулярными к ней прямыми линиями. Внутри каждой эпюры ставится знак внутреннего усилия.
В сопротивлении материалов расчет стержня обычно начинается с определения внутренних усилий и построения их эпюр. При этом можно либо устанавливать законы изменения внутренних усилий по длине стержня, либо вычислять их значения в его характерных сечениях. В последнем случае для построения эпюр внутренних усилий необходимо знать характер их изменения на участках стержня между его различными сечениями, что устанавливается из дифференциальных соотношений между
внутренними усилиями и интенсивностями распределенных нагрузок.
Знание внутренних усилий недостаточно для определения законов изменения напряжений по поперечному сечению стержня, поскольку каждому внутреннему усилию могут соответствовать различные законы распределения напряжений. Для решения этой задачи надо рассмотреть характер деформации стержня и ввести упрощающие гипотезы. При этом оказывается возможным вывести простые расчетные формулы для определения напряжений через внутренние усилия в поперечных сечениях стержня.
В сопротивлении материалов изучение характера работы прямого стержня производится раздельно от действия каждого из трех видов внешней нагрузки. Действие осевых нагрузок
(рис. 1.23, а) соответствует центральному растяжению или сжатию стержня. При этом в его поперечных сечениях действует только одно внутреннее усилие-продольная сила N.
Действие поперечных нагрузок вызывает изгиб стержня. В общем случае изгиба в поперечных сечениях стержня могут действовать два изгибающих момента Му и Mz и две поперечные силы Q У и Q z.
Скручивающие нагрузки (рис. 1.23, в) вызывают кручение стержня, что соответствует действию в его поперечных сечениях крутящего момента.
Совместное действие осевых, поперечных и скручивающих нагрузок вызывает так называемое сложное сопротивление стержня, которое можно разделить на отдельные задачи в зависимости от сочетания нагрузок (например, растяжение с изгибом, изгиб с кручением и т. п.).