Стержневыми системами называются системы, состоящие из отдельных, обычно прямолинейных, стержней, соединенных между собой в узлах с помощью сварки, заклепок, болтов или других скреплений;
одним из видов таких систем являются плоские фермы.
В большинстве случаев соединения стержней фермы в узлах являются жесткими — не шарнирными. Точный расчет фермы с такими узлами весьма сложен, так как обычно она является много раз статически неопределимой системой. Если жесткие узлы фермы условно заменить шарнирными, то расчет ее значительно упрощается и при известных условиях может быть выполнен с помощью одних лишь уравнений статики. Опытные данные и теоретические исследования показывают, что такая замена допустима, так как при сосредоточенных нагрузках, приложенных в узлах, усилия, возникающие в шарнирной ферме, мало отличаются от усилий в ферме с жесткими
узлами (в случае, когда стержни имеют достаточно большую длину). Поэтому в дальнейшем будем пользоваться условной расчетной схемой фермы со стержнями, шарнирно соединенными в узлах.
Если заменить жесткие узлы системы, состоящей из трех стержней (изображенной на рис. 1.7, а), шарнирами, то система останется геометрически неизменяемой (рис. 1.7, б), т. e. такой, изменение формы которой возможно лишь в связи с деформациями ее элементов.
Если же заменить жесткие узлы шарнирами в системе, состоящей из четырех стержней (изображенной на рис. 1.8, а), то получится система геометрически изменяемая (рис.1.8, б), форма которой может меняться без деформации ее элементов.
Наипростейшей геометрически неизменяемой, сочлененной из отдельных элементов, шарнирной системой (фермой) является система, состоящая из трех стержней, соединенных шарнирами в треугольник (см. рис. 1.7, б).
Установим, как может быть образована геометрически неизменяемая система, состоящая более чем из трех стержней, соединенных шарнирами. Предварительно рассмотрим систему из двух стержней (рис. 1.9), лежащих на одной прямой и соединяющих узел С с двумя неподвижными точками А и В. Если разъединить стержни АС и ВС в точке С, то конец С стержня АС переместится по окружности m — m,
а конец С стержня ВС — по окружности n — n.
Эти окружности в точке С имеют общую касательную. Следовательно, если точка С
одного из стержней получит весьма малое перемещение по перпендикуляру к АВ, то другой стержень не сможет воспрепятствовать этому перемещению. Таким образом, рассматриваемая система является геометрически изменяемой, так как ее форма может меняться при неизменной длине стержней, т. e. при отсутствии деформаций ее
элементов.
Систему с двумя стержнями, лежащими на одной прямой (рис. 1.9), в дальнейшем будем называть мгновенно изменяемой, так как она в следующее мгновение после малого смещения точки С по перпендикуляру к прямой AB превращается в неизменяемую систему.
Иная картина получается, если стержни АС и ВС не лежат на одной прямой (рис, 1.10); в этом случае окружности m — m и n — n не имеют общей касательной, а потому даже малое перемещение узла С невозможно без деформации стержней.
Таким образом, всякий новый узел, добавляемый в процессе образования геометрически неизменяемой системы, может быть присоединен с помощью двух стержней, оси которых не должны лежать на одной прямой. Следовательно, системы, полученные из шарнирного треугольника путем последовательного присоединения узлов, причем каждого двумя стержнями, не лежащими на одной прямой, геометрически неизменяемы, т. e. геометрическая структура их неизменяема. Такие системы (или фермы) называют простейшими в отличие от сложных, которые получают обычно в результате видоизменения простейших, в частности, с помощью
замены одних стержней другими, или путем наложения одной системы на другую.
К простейшим системам относятся фермы, представленные на рис. 1.11. Каждая из них получена последовательным присоединением шарнирных узлов указанным выше способом к основному шарнирному треугольнику abc в порядке, обозначенном на чертеже цифрами. В качестве основных треугольников abc при проверке геометрической неизменяемости простейших ферм могут быть приняты любые шарнирные соединения трех стержней.
Ферма, состоящая только из треугольников, геометрически неизменяема. Любой шарнирный треугольник ее может рассматриваться как основной. Проверку геометрической неизменяемости простейших ферм можно производить и обратным путем, т. e. последовательно отбрасывая каждый узел и два стержня, прикрепляющих
его к остающейся части фермы. Если в результате этого получится система в виде шарнирного треугольника, то рассматриваемая ферма геометрически неизменяема.
Установим зависимость между числом узлов и числом стержней, необходимых для получения простейшей фермы. Такая ферма, как уже известно, образуется из основного шарнирного треугольника путем последовательного присоединения новых узлов, при этом каждого с помощью двух стержней, не лежащих на одной прямой.
Обозначим: S — число стержней такой фермы, К — число ее узлов. Основной треугольник имеет три узла и три стержня; каждый из остальных присоединяемых узлов в количестве (К—3) прикрепляется двумя стержнями. Поэтому полное число стержней в простейшей геометрически неизменяемой ферме
Если число стержней S<2K—3, то это показывает, что ферма в своем составе не имеет минимального количества стержней, необходимого для образования геометрически неизменяемой системы. Следовательно, в этом случае система геометрически изменяема. Примером такой системы может служить четырехугольник (рис. 1.12, я), в котором S = 4 , К = 4; следовательно,
S=4<2K—3=2*4—3=5.
Превращение его в неизменяемую систему может быть достигнуто включением пятого диагонального стержня (рис. 1.12, б). Если, далее, введем вторую диагональ — шестой стержень (рис. 1.12, в), то с точки зрения геометрической неизменяемости этот стержень будет уже лишним. Из этого примера видно, что могут встречаться геометрически неизменяемые системы, в которых S>2K—3.
Заметим, что соотношение S > 2 K —3 является необходимым, но еще недостаточным условием неизменяемости фермы. Так, ферма, изображенная на рис. 1.13, а, геометрически изменяема, хотя имеет число стержней S’, paвное 2К—3; на рис. 1.13, б изображена изменяемая ферма, для которой S>2K—3.
Изменяемость этих ферм объясняется тем, что правые их части представляют собой шарнирные четырехугольники.
Кроме того, стержневые системы, удовлетворяющие условию S = 2K — 3 , могут быть мгновенно изменяемыми. Перейдем теперь к вопросу о присоединении геометрически неизменяемой системы к земле посредством опор.
Наиболее часто сооружение (диск) опирается на две шарнирные опоры, одна из которых неподвижная, другая подвижная (рис. 1.14, а).
Такая связь сооружения с землей обеспечивает ему геометрическую неизменяемость. Не обязательно, чтобы два из трех опорных стержней объединялись одним общим шарниром; стержни геометрически неизменяемой системы могут и не иметь
общих шарниров (рис. 1.14, б).
Если все опорные стержни расположены так, что их направления пересекаются в одной точке 0 (рис. 1.15, а), то эта точка является мгновенным центром, вокруг которого система может совершать бесконечно малое вращательное перемещение (практически это перемещение может быть конечным, но малым).
После такого перемещения все опорные стержни уже не будут пересекаться в одной точке и потому дальнейшие перемещения будут невозможны без деформации стержней.
Система, прикрепленная к земле подобным образом, обладает мгновенной подвижностью (мгновенной изменяемостью); такое расположение стержней недопустимо. Таким образом, прикрепление системы к земле с помощью трех стержней возможно лишь в том случае, когда оси этих стержней не пересекаются в одной точке и не параллельны друг другу.
Распространяя это положение на случай взаимного соединения двух любых геометрически неизменяемых систем (дисков), можно сформулировать следующее правило: два диска образуют геометрически неизменяемую систему, если они связаны между собой с помощью тpex стержней, оси которых не пересекаются в одной точке и не параллельны друг другу.
Если в точке пересечения направлений любых двух из этих трех стержней поставить шарнир и соединить его с диском, то система не станет геометрически изменяемой, но это даст возможность рассматривать ее как состоящую из двух дисков / и / / , связанных друг с другом одним общим шарниром А и стержнем В (рис. 1.15, б).
Следовательно, к диску можно геометрически неизменяемо присоединить другой диск с помощью общего для обоих дисков шарнира и стержня, направление которого не должно проходить через этот шарнир. Сочленение трех дисков в одну общую
геометрически неизменяемую систему можно осуществить, соединив их в треугольник с помощью трех шарниров, не расположенных на одной прямой (рис. 1.16),
или с помощью шести стержней, как это показано на рис. 1.17, так как каждый шарнир может быть заменен двумя стержнями, пересекающимися в его центре.
Система, изображенная на рис. 1.18, мгновенно изменяема, так как точки пересечения осей стержней, связывающих каждую пару дисков, лежат на одной прямой. Она аналогична системе, показанной на рис. 1.9.
Итак, три диска, соединенных с помощью шести стержней так, что между каждой парой дисков установлено по два стержня, точки пересечения которых не лежат на одной прямой, представляют собой геометрически неизменяемую систему.
На рис. 1.19, а — к приведен ряд систем, образованных указанными способами.
На рис. 1.20 изображена система, представляющая собой один из возможных вариантов многопролетной статически определимой балки (более подробно такого рода системы рассмотрены в § 2.9). Установим ее геометрическую неизменяемость. Для этого выделим из балки какую-нибудь геометрически неизменяемую систему (диск), неподвижно соединенную с землей тремя стержнями, а затем постараемся
убедиться в том, что каждая следующая геометрически неизменяемая система присоединяется к диску (т. e. к земле и уже присоединенным к ней системам) с помощью трех стержней.
Рассматривая стержень /, убеждаемся в том, что он неподвижно соединен с землей тремя стержнями, не пересекающимися в одной точке и не параллельными между собой; стержень // , соединенный двумя стержнями с землей и одним стержнем ab со стержнем /,
также образует неизменяемую систему; к этой системе аналогично (с помощью стержня и двух опорных стержней) присоединен стержень /// ; наконец, к этому стержню посредством шарнира e и опорного стержня присоединен последний элемент ef. Следовательно, вся система в целом является геометрически неизменяемой
Рассмотрим теперь пример геометрически изменяемой системы (рис. 1.21). Диски / и /// по отношению к диску // можно рассматривать как опорные стержни AD и CF; тогда диск // оказывается прикрепленным к земле тремя стержнями AD, CF и вертикальным
стержнем B, оси которых пересекаются в точке Е. Следовательно, система является мгновенно изменяемой.