В сопротивлении материалов определяются напряжения, деформации и перемещения в стержнях при действии различных нагрузок, вызывающих центральное растяжение (сжатие), изгиб, кручение или одновременно все виды названных деформаций. В формулы для напряжений и перемещений в зависимости от вида деформирования входят различные геометрические характеристики поперечных сечений стержня. Величины этих характеристик зависят от формы и размеров поперечного сечения. Рассмотрим произвольную плоскую фигуру (поперечное сечение стержня) площадью F, отнесенную к прямоугольной системе координат Оху (рис. 2.1).
Выделим в плоскости фигуры элемент площади dF с координатами х, у и определим основные геометрические характеристики поперечных сечений стержней, как взятые по всей площади F суммы произведений элементарных площадей dF на их расстояния х и у (в соответствующих степенях) до осей Оу и Ох.
Статические моменты имеют размерность единицы длины в третьей степени (например, см 3), а осевые, центробежный и полярный моменты инерции- единицы длины в четвертой степени (см 4 ). Как видно из приведенных формул, статические и центробежный моменты в зависимости от выбора системы координат могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. Осевые и полярный моменты инерции всегда положительны. На основании известной из теоретической механики теоремы о моменте равнодействующей можно написать следующие
равенства:
где F-площадь всего сечения. Из этих равенств определяются координаты центра тяжести сечения (рис. 2.1):
Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными осями. Из (2.5) следует, что статический момент всего сечения относительно любой центральной оси равен нулю.