Выше было установлено, что связь сооружения с землей, схематически изображаемая тремя стержнями, не пересекающимися в одной точке, геометрически неизменяема. Такая связь статически определима, так как число усилий в этих стержнях равно числу уравнений статики, которые можно составить для плоской системы сил, находящейся в равновесии. Сооружение статически определимо относительно опорных закреплений лишь в том случае, когда число параметров, определяющих реакции этих закреплений, равно трем. Этому условию удовлетворяют, например, следующие две системы опорных закреплений: 1) комбинация шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной опор — для сооружений, опирающихся в двух точках (рис. 1.22, а);
2) комбинация трех шарнирноподвижных опор (рис. 1.22,6) — при наличии трех опорных точек в
сооружении; при этом направления реакций (на рисунке показаны штриховыми линиями) всех трех
опор не должны пересекаться в одной точке и не должны быть параллельны друг другу.
Наличие у геометрически неизменяемой системы четырех и более опорных стержней, среди которых имеется три стержня с направлениями осей, не пересекающимися в одной точке и не параллельными друг другу, указывает на то, что сооружение статически неопределимо (рис.1.23).
Статически неопределимое сооружение нельзя рассчитывать с помощью одних лишь уравнений статики; для этого требуется составить дополнительные уравнения, основанные на изучении его деформаций.
Перейдем теперь к условиям, которым должны удовлетворять сами статически определимые стержневые системы (фермы), т. e. такие системы, усилия в элементах (стержнях) которых могут быть найдены с помощью одних лишь уравнений статики.
При действии на шарнирную ферму сосредоточенных сил, приложенных в узлах (шарнирах), в ее прямолинейных стержнях возникают одни лишь продольные (сжимающие или растягивающие)
силы. Для доказательства условия этого выделим из фермы (рис. 1.24, а) стержень ab (рис. 1.24, б) и рассмотрим условия его равновесия.
Если к элементу ab непосредственно не приложена внешняя нагрузка, то равновесие его возможно только тогда, когда силы N, действующие на стержень от шарниров а и b, равны друг другу по числовому значению величины и направлены в противоположные стороны. Силы N проходят через центры шарниров, так как соединения стержней в узлах предполагаются выполненными с помощью идеальных шарниров (свободных от трения). Следовательно, силы N направлены вдоль прямой, проходящей через центры шарниров а и b, а потому вызывают в поперечных сечениях стержня ab лишь продольные силы. Если ферма имеет криволинейные стержни, то в поперечных сечениях этих стержней кроме продольных сил возникают изгибающие моменты, вызывающие в них дополнительные напряжения. Наибольшие значения этих моментов M = N f (рис. 1.25).
Если ферма в целом (рис. 1.26, а) под действием сил, приложенных к ее узлам, находится в равновесии, то и любой из ее узлов (рис. 1.26, б) также находится в равновесии, т. e. внешняя нагрузка, действующая на узел, и внутренние усилия в стержнях, сходящихся в данном узле, взаимно уравновешиваются.
На каждый узел фермы действует система сил, пересекающихся в одной точке. Для такой системы сил статика дает два уравнения равновесия:
Если ферма имеет К узлов, то для них можно составить 2К уравнений равновесия, с помощью которых должны быть найдены усилия во всех стержнях фермы и три неизвестные опорные реакции.
Любые другие уравнения равновесия для отдельных частей фермы (например, группы узлов) или для всей фермы в целом могут быть получены из этих уравнений, а потому не дадут новых условий для определения неизвестных усилий. Следовательно, ферма будет статически определима, если число стержней ее S равно удвоенному числу узлов минус 3:
S= 2 K -3 . (1.2)
Полученная зависимость между числом стержней и числом узлов статически определимой фермы совпадает с условием (1.1) ее геометрической неизменяемости. Следовательно, всякая простейшая ферма, т. e. ферма, образованная из стержневого шарнирного треугольника последовательным присоединением узлов (каждого с помощью двух стержней, не лежащих на одной прямой), является системой геометрически неизменяемой и одновременно статически определимой.
Если при подсчете числа стержней S системы учесть и опорные стержни, то условие S=2K—3 примет вид
S общ = 2K (1.3)
Этой формулой удобно пользоваться в тех случаях, когда cooружение хотя и является геометрически изменяемым (т.е. количество S его стержней меньше, чем 2К—3), но так связано с землей, что образует вместе с ней единую геометрически неизменяемую статически определимую систему. Пример такого сооружения дан на рис. 1.27.
Для него К=8, количество стержней в сооружении S (без опорных) равно 12. Таким образом, оно не удовлетворяет условию (1.1): S=2K—3 (так как S=12, a 2К—3=2*8—3 =13) и, следовательно, является геометрически изменяемым. Однако S общ системы вместе с опорными стержнями, равное 16, удовлетворяет условию (1.3), а потому эта система может быть (и в данном случае является) геометрически неизменяемой статически определимой системой.
Все стержни статически определимой системы являются с точки зрения геометрической неизменяемости безусловно необходимыми, т. e. в такой системе нет ни одной лишней связи (ни одного лишнего стержня). Если геометрически неизменяемая система в своем cocтaвe имеет число стержней, превышающее минимально необходимое, то она является статически неопределимой.