Из курса сопротивления материалов читателю известны способы определения внутренних усилий, возникающих в поперечных сечениях однопролетных статически определимых балок, и построения эпюр этих усилий от действия на балки неподвижной нагрузки. Эти способы используются и в курсе строительной механики.
При определении значений внутренних усилий в балках будем пользоваться сформулированными ниже правилами.
Поперечная сила Q положительна, когда на левом торце правой части балки она направлена снизу вверх, а на правом торце левой части — сверху вниз.
Изгибающий момент M положителен, когда на левом торце правой части балки он направлен по часовой стрелке, а на правом торце левой части— против часовой стрелки.
При нагрузках, направленных не по нормали к оси балки (а под другим углом), в поперечных сечениях ее возникают кроме поперечных сил и изгибающих моментов также и продольные силы N. Продольная сила положительна, когда она вызывает растяжение, и отрицательна, когда она вызывает сжатие.
На рис. 2.1 показаны положительные направления поперечной силы, продольной силы и изгибающего момента в поперечном сечении балки. Из рисунка видно, что при положительном изгибающем моменте верхние волокна балки испытывают сжатие (укорочение), а нижние — растяжение (удлинение); положительная поперечная сила вращает каждую часть балки относительно другого ее конца по часовой стрелке. При построении эпюр поперечных и продольных сил положительные значения ординат откладывают вверх от оси эпюры, а от эпюр знаки внутренних усилий. При построении же эпюры изгибающих моментов положительные значения их откладывают вниз от оси эпюры, отрицательные — вверх; в результате этого эпюры изгибающих моментов оказываются расположенными со стороны растянутых волокон балки.
Знак поперечной силы можно установить с помощью эпюры изгибающих моментов, используя следующее правило: поперечная сила в данном сечении положительна, если для совмещения оси элемента с касательной к эпюре изгибающих моментов приходится ось элемента вращать по часовой стрелке. Вращение оси должно происходить всегда так, чтобы угол поворота не превосходил 90°. Допустим, например, что требуется определить поперечную силу в сечении x элемента балки, эпюра изгибающих моментов для которого приведена на рис. 2.2.
В этом случае для совмещения оси элемента с касательной к эпюре изгибающих моментов приходится ось элемента вращать по часовой стрелке (это вращение на чертеже показано штриховой стрелкой); следовательно, в рассматриваемом сечении поперечная сила положительна, так как для совмещения оси элемента с касательной нужно ось элемента повернуть по часовой стрелке (рис. 2.2).
Поперечная сила Q равна (по величине и знаку) сумме проекций всех внешних сил, приложенных к левой части балки, на нормаль к ее оси, проведенную в рассматриваемом поперечном сечении, или сумме проекций (на ту же нормаль), взятой с обратным знаком, всех внешних сил, приложенных к правой части балки 2:
при этом проекции внешних сил на нормаль к оси балки положительны, когда они направлены снизу вверх. Изгибающий момент M равен (по числовой величине и знаку) сумме моментов относительно оси z (проходящей через центр тяжести рассматриваемого поперечного сечения балки перпендикулярно плоскости действия внешних сил) всех внешних сил, приложенных к левой части балки, или сумме моментов, взятой с обратным знаком, всех внешних сил, приложенных к правой части балки:
при этом моменты внешних сил положительны, когда они действуют по часовой стрелке.
Продольная сила N равна (по числовой величине и знаку) сумме проекций всех внешних сил, приложенных к левой части балки, на ее ось или сумме проекций (на ту же ось), взятой с обратным знаком, всех внешних сил, приложенных к правой части балки:
при этом проекции внешних сил на ось балки положительны, когда они действуют справа налево.
Между эпюрами M и Q и нагрузкой, действующей на балку, существуют определенные зависимости. Эти зависимости позволяют проверять правильность эпюр и облегчают их построение. Они применимы не только для балок, но и для рамных систем, а потому имеют большое значение в строительной механике. Основная зависимость имеет вид
т. e. поперечная сила равна первой производной от изгибающего момента по абсциссе сечения балки (теорема Журавского).
Аналогично между поперечной силой и интенсивностью нагрузки существует также дифференциальная зависимость
Учитывая эти зависимости, можно сформулировать ряд положений:
1) участкам с восходящими (слева направо) ординатами эпюры M (т. e. с убывающими значениями M) соответствуют участки с отрицательными значениями Q, а участкам с нисходящими ординатами
эпюры M — участки с положительными значениями Q;
2) чем круче касательная к эпюре M, тем больше абсолютное значение Q. Числовое значение поперечной силы равно «тангенсу» угла между этой касательной и осью балки;
3) в сечениях, где поперечная сила равна нулю, изгибающий момент максимальный или минимальный;
4) между сосредоточенными силами (если между ними отсутствует распределенная нагрузка) эпюра M ограничена прямой (в общем случае наклонной), а эпюра Q — прямой горизонтальной линией;
5) на участках балки с равномерно распределенной нагрузкой эпюра M ограничена параболой второй степени, а эпюра Q— наклонной прямой;
6) при распределенной нагрузке эпюра M обращена выпуклостью в ту сторону, в которую направлена эта нагрузка;
7) точка приложения сосредоточенных сил, перпендикулярных оси балки, соответствуют переломы в эпюре M и скачки в эпюре Q. Когда сила направлена вниз, то и скачок в эпюре Q при перемещении слева направо должен быть вниз; когда сила направлена вверх, то и скачок должен быть вверх; величина скачка равна величине силы;
8) изменение числового значения величины изгибающего момента на каком-либо участке балки равно площади эпюры поперечных сил на этом участке (при условии, что на данном участке к балке не приложены внешние моменты);
9) изменение числового значения величины поперечной силы на каком-либо участке балки равно площади эпюры распределенной нагрузки q на этом участке.
В настоящей главе рассматриваются способы определения усилий в поперечных сечениях однопролетных статически определимых балок от действия на них подвижной нагрузки, а также способы определения усилий в поперечных сечениях многопролетных статически определимых балок от действия неподвижной и подвижной нагрузок. С подвижной нагрузкой приходится встречаться при расчетах мостов, кранов и других инженерных сооружений. Примерами такой нагрузки являются поезд, перемещающийся по железнодорожному мосту, кран, движущийся по подкрановой балке и др.
Усилия в том или ином элементе сооружения (а также его деформации) зависят от положения подвижной нагрузки. Для определения расчетных величин усилий необходимо из всех возможных положений нагрузки выбрать такое, при котором рассчитываемый элемент будет находиться в наиболее неблагоприятных условиях.
Например, при подборе размеров поперечного сечения какого-либо элемента фермы нужно заданную подвижную нагрузку расположить таким образом, чтобы в рассматриваемом элементе получить максимальное усилие. Такое положение нагрузки называется невыгоднейшим или опасным. Каждому элементу фермы, каждому поперечному сечению балки и т. п. соответствует свое опасное положение подвижной нагрузки.
Это относится не только к внутренним усилиям в элементах конструкций, но также и к опорным реакциям, прогибам и т. п.
Расчет сооружения на подвижную нагрузку в значительной степени облегчается возможностью применения принципа независимости действия сил, сущность которого заключается в том, что внутренние усилия, напряжения и деформации, вызванные воздействием на сооружение различных нагрузок, можно суммировать.
Если, например, на сооружение одновременно действуют две группы сил, то возникающее при этом усилие в любом элементе сооружения будет равно сумме усилий, возникающих в нем при действии каждой группы сил в отдельности х.
Исследование действия на сооружение подвижной нагрузки начнем с рассмотрения наиболее простого случая, когда по coopyжению движется только один вертикальный груз P, равный единице (рис. 2.3).
Исследуем, как меняется тот или иной фактрр (например, опорная реакция, усилие в элементе фермы, изгибающий момент в определенном сечении балки, прогиб балки в данной точке и т. п.)
при перемещении груза P = 1 по сооружению. Установленный при этом закон изменения изучаемого фактора в зависимости от положения перемещающегося груза P = 1 будем изображать графически.
График, изображающий закон изменения какого-либо фактора (например, изгибающего момента в сечении) при передвижении по сооружению силы Р = 1, называется линией влияния этого фактора.
Линию влияния необходимо отличать от эпюры. Это по существу противоположные друг другу понятия. Действительно, ординаты эпюры характеризуют распределение изучаемого фактора (например, изгибающего момента) по различным сечениям балки при неподвижной нагрузке; ординаты же линии влияния, наоборот, характеризуют изменение фактора (например, того же момента), возникающего в одном определенном сечении при силе P = 1, перемещающейся
по длине балки.