Из формул (2.8)

видно, что при повороте осей координат моменты инерции в зависимости от угла альфа изменяются периодически. Поэтому функции Jx , Jy , Jxy должны иметь экстремумы. Кроме этого, сумма осевых моментов инерции согласно (2.9)

при изменении альфа остается величиной постоянной. Следовательно, существует такое значение альфа, при котором одновременно один из осевых моментов инерции достигает своего максимального (Jmax), а другой-минимального (Jmin) значений.
Для нахождения экстремальных величин осевых моментов инерции приравняем к нулю производную по x от первого из выражений (2.8):

Эта формула дает возможность в интервале альфа от -45° до 45° получить угол наклона альфа к оси Ох одной из двух взаимно перпендикулярных осей, относительно которых один из осевых Моментов инерции равен Jmax, а дpyгoй-Jmin. Центробежный момент инерции относительно этих осей равен нулю.
Такие две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции сечения. Осевые моменты инерции относительно таких осей имеют экстремальные значения-один Jmax, другой Jmin,-и называются главными моментами инерции.
В дальнейшем для главных осей инерции используются цифровые обозначения 1 и 2 и, соответственно, для главных моментов инерции-обозначения J1 =Jmax и J2 =Jmin·
В любой точке сечения всегда существует, по крайней мере, одна пара взаимно перпендикулярных главных осей.
Если главные оси проходят через центр тяжести сечения, то они называются главными центральными осями. Определение положения этих осей имеет наибольшее практическое значение.
Исследуя знак второй производной первого или второго из выражений (2.8), можно доказать следующее правило: если Jx>Jy, то по (2.10) получается угол альфа 1 между осью Ох и осью 1;
при lx<ly-yгoл альфа 2 между осью Ох и осью 2. При этом положительному углу соответствует поворот против хода часовой стрелки.
Формулы для углов, определяющих положение главных осей, удобнее записать с использованием главных моментов инерции J1, J2 (приведем эти формулы без вывода):

Для определения главных моментов инерции необходимо в (2.8) с помощью известных формул тригонометрии выразить sin 2 альфа и cos 2 альфа через tg 2 альфа с использованием выражения (2.10).
В результате для главных моментов инерции получим формулы
