В инженерной практике часто применяют балки с поперечным сечением, имеющим вертикальную ось симметрии. Если внешняя нагрузка и реактивные усилия лежат в одной плоскости, которая совпадает с осью симметрии сечения, то балка будет изгибаться в той же плоскости (ось изгибаемого стержня не выходит из этой плоскости). Такой изгиб называют плоским.
Здесь будут рассматриваться случаи, когда при плоском изгибе внешняя нагрузка перпендикулярна продольной оси балки. Поэтому в поперечных сечениях балки возникают только поперечная сила и изгибающий момент, а продольная сила равна нулю, что нетрудно доказать, спроектировав все силы на продольную ось. Такой изгиб называют поперечным.
Условимся:
- Поперечную силу считать положительной, если она направлена так, что стремится повернуть элемент балки по ходу часовой стрелки.
2) изгибающий момент считать положительным, если он изгибает элемент балки выпуклостью вниз, вызывая растяжение нижних волокон.
Отрицательные величины Qy, и Mx соответствуют противоположному направлению.
Отметим, что при таком правиле знаков в левом сечении рассматриваемой части балки положительная поперечная сила направлена вверх, а положительный изгибающий момент — по ходу часовой стрелки. Соответственно в правом сечении положительная Q, — вниз, а положительный момент Mz — против хода часовой стрелки.
Между внешней нагрузкой, в частности интенсивностью распределенной нагрузки qy, поперечной силой Qy, и изгибающим моментом Mz имеются важные дифференциальные зависимости, которые будут использоваться в дальнейшем.
Рассмотрим балку с внешней распределенной нагрузкой qy, направленной вниз вдоль положительной оси у (рис. 2.11, а). Такую нагрузку будем считать положительной. Выделим из нее в произвольном месте элемент длиной dz (рис. 2.11·, б). Действие левой отброшенной части балки на элемент заменим поперечной силой Qy и изгибающим моментом Мx, а действие правой отброшенной части — силой Qy+dQy и моментом Mx+dМz. Здесь dQ, и dMz — приращение поперечной силы и изгибающего момента на элементе dz. Предположим, что поперечные силы и изгибающие моменты положительны. Кроме этих сил на элемент действует внешняя распределенная нагрузка qy, которую вследствие малости dz можно считать равномерно распределенной. Под действием указанных сил элемент находится в равновесии.
Составим для элемента два уравнения равновесия
Из первого уравнения после преобразований получим:
Первая производная от поперечной силы пo продольной координате z равна интенсивности распределенной нагрузки, взятой с обратным знаком.
Из второго уравнения, пренебрегая членом qy (dz)^2/2 как величиной второго порядка малости, найдем
Первая, производная от изгибающего момента по пpoдoльной координате равна поперечной силе.
Зависимость (2.6)- с учетом (2. 7) может быть записана в виде
Вторая производная от изгибающего момента по продольной координате z равна интенсивности распределенной нагрузки, взятой с обратным знаком.
Если к балке на участке, где выделяется элемент dz, приложена внешняя распределенная моментная нагрузка mx, то, рассуждая аналогично вышеизложенному, из уравнения равновесия получим зависимость
Первая производная от изгибающего момента по продольной координате z равна сумме поперечной силы и интенсивности распределенной моментной нагрузки.
Зависимость (2.6) в этом случае остается без изменений.
В дальнейшем индексы у будем опускать.
На основании полученных дифференциальных зависимостей (2.6), (2. 7) можно сформулировать ряд основных положений, оказывающих помощь при построении эпюр
поперечных сил и изгибающих моментов и позволяющих их контролировать.
На участке, где нет распределенной нагрузки (q=O), поперечная сила постоянна, изгибающий момент изменяется по линейной зависимости, причем тангенс угла наклона альфа эпюры М равен силе Q.
В частном случае одновременно может быть q=0 и Q=0, тогда изгибающий момент постоянен.
2. На участке, где имеется равномерно распределенная нагрузка, поперечная сила изменяется по линейной зависимости (тангенс угла наклона эпюры Q равен q), а изгибающий момент — по квадратичной зависимости, у кторой выпуклость обращена в сторону действия распределенной нагрузки q.
Если на этом участке поперечная сила в одном из сечений равна нулю, то изгибающий момент в этом сечении принимает экстремальное значение — максимум или минимум.
На участке, где имеется распределенная нагрузка, изменяющаяся линейным образом (например, треугольная нагрузка), поперечная сила изменяется по квадратичной зависимости, а изгибающий момент — по кубической. Выпуклость эпюры Q устанавливается в зависимости от характера нагружения распределенной нагрузкой с использованием дифференциальной зависимости или по ряду вычисленных значений ку Выпуклость эпюры М обращена в сторону действия распределенной нагрузки.
В сечении, где приложена сосредоточенная сила F на эпюре Q будет скачок, равный значению этой силы и направленный в ту же сторону (при построении эпюры слева направо), а эпюра М будет иметь перелом, направленный в сторону действия силы F.
В сечении, где приложен сосредоточенный изгибающий момент на эпюре М, будет скачок, равный значению момента М; на эпюре Q изменений не будет. При этом направление скачка будет вниз (при построении эпюры слева направо), если сосредоточенный момент действует по ходу часовой стрелки, и вверх, если против хода часовой стрелки.
бающий момент — аАZебраической сумме моментоt1 э,тих
же CUA относитем,но горизонта.А.ЬНОй оси х, проходящей
через чентр тяжести сеченш~, .т. е.
Поэтому можно, мысленно представив оставшуюся часть
~ с приложеввоl JС вей ввеmвей вагруз1еой1 составить
выраже~ попереч:ных сил и изгибающих моментов, испо.
пьэуя зависимости (2.10) и правила зяцов дп Q и М,
првведепвые ранее.
Рассмотрим: нес1еолъ~о примеров построения эпюр
QиМ.