В инженерной практике часто применяют балки с поперечным сечением, имеющим вертикальную ось симметрии. Если внешняя нагрузка и реактивные усилия лежат в одной плоскости, которая совпадает с осью симметрии сечения, то балка будет изгибаться в той же плоскости (ось изгибаемого стержня не выходит из этой плоскости). Такой изгиб называют плоским.
Здесь будут рассматриваться случаи, когда при плоском изгибе внешняя нагрузка перпендикулярна продольной оси балки. Поэтому в поперечных сечениях балки возникают только поперечная сила и изгибающий момент, а продольная сила равна нулю, что нетрудно доказать, спроектировав все силы на продольную ось. Такой изгиб называют поперечным.
Условимся:
- Поперечную силу считать положительной, если она направлена так, что стремится повернуть элемент балки по ходу часовой стрелки.

2) изгибающий момент считать положительным, если он изгибает элемент балки выпуклостью вниз, вызывая растяжение нижних волокон.
Отрицательные величины Qy, и Mx соответствуют противоположному направлению.
Отметим, что при таком правиле знаков в левом сечении рассматриваемой части балки положительная поперечная сила направлена вверх, а положительный изгибающий момент — по ходу часовой стрелки. Соответственно в правом сечении положительная Q, — вниз, а положительный момент Mz — против хода часовой стрелки.

Между внешней нагрузкой, в частности интенсивностью распределенной нагрузки qy, поперечной силой Qy, и изгибающим моментом Mz имеются важные дифференциальные зависимости, которые будут использоваться
в дальнейшем.
Рассмотрим балку с внешней распределенной нагрузкой qy, направленной вниз вдоль положительной оси у (рис. 2.11, а). Такую нагрузку будем считать положительной. Выделим из нее в произвольном месте элемент длиной dz (рис. 2.11·, б). Действие левой отброшенной части балки на элемент заменим поперечной силой Qy и изгибающим моментом Мx, а действие правой отброшенной части — силой Qy+dQy и моментом Mx+dМz. Здесь dQ, и dMz — приращение поперечной силы и изгибающего момента на элементе dz. Предположим, что поперечные силы и изгибающие моменты положительны. Кроме этих сил на элемент действует внешняя распределенная нагрузка qy, которую вследствие малости dz можно считать равномерно распределенной. Под действием указанных сил элемент находится в равновесии.
Составим для элемента два уравнения равновесия

Из первого уравнения после преобразований получим:

Первая производная от поперечной силы пo продольной координате z равна интенсивности распределенной нагрузки, взятой с обратным знаком.
Из второго уравнения, пренебрегая членом qy (dz)^2/2
ш вел:вчивой второго порядха малости, найдем

Первая, производная от изгибающего момента по пpoдoльной координате равна поперечной силе.
Зависимость (2.6)- с учетом (2. 7) может быть записана в виде

Вторая производная от изгибающего момента по продольной координате z равна интенсивности распределенной нагрузки, взятой с обратным знаком.
Если к балке на участке, где выделяется элемент dz, приложена внешняя распределенная моментная нагрузка mx, то, рассуждая аналогично вышеизложенному, из уравнения равновесия получим зависимость

Первая производная от изгибающего момента по продольной координате z равна сумме поперечной силы и интенсивности распределенной моментной нагрузки.
Зависимость (2.6) в этом случае остается без изменений.
В дальнейшем индексы у будем опускать.
На основании полученных дифференциальных зависимостей (2.6), (2. 7) можно сформулировать ряд основных положений, оказывающих помощь при построении эпюр
поперечных сил и изгибающих моментов и позволяющих их контролировать.
На участке, где нет распределенной нагрузки (q=O), поперечная сила постоянна, изгибающий момент изменяется по линейной зависимости, причем тангенс угла наклона альфа эпюры М равен силе Q.


В частном с.луч~ одновременно может быть q= О
и Q=O, тorдti изгибающий момент постоеев. .
I l l l J 1 q, 1 2. На учаспе, rде имеетсs равномерно распредевев-
ная нагруэu, поперечнu сила измев.аета по ливейвой
зависимости (1’8Щ’Cllc угла наuова Р эпюры Q равен q),
а взrибающий момент — по uадратвчвой завис11Моств1
у :к:оторой выпухлость обращена в сторону действо: рас-
М,кстр
пределенной ваrрузп q. •
- Если на этом учасп:е поперечвu: сила ■ одном :вз
сечений равна иуmо (Q == М’ = О), то изrибающd момент в этом сечении привимает эхстремальвое звачевве Msr:rp — махсвмум или М1П111М}’М (здесь псательвu х эпюре М горизонтальна). —п11 З. На учасп:е, rде вмеетаr расщ,еделе11В8J1 нагруэu,
1 изменяющаяся линейным образом {вшрвмер, треуrоль»
Q\ 1 1 1 гf;. ‘J1П ш нагрузха), поперечная сила изиеим~• по :оадратич\
V «L.LJ ной зависимости, а изrибающи:1 момент — по ~ичес-
1еой. Вьшуuость эпюры Q устав8.ВJПIВ8еТСJI в зависимо-
~ ств от харапера наrружевиs распределевиой иагруиой
. 1 t с использованием дифференциальной зависимости (2.6)
или по ряду вычисленных значений Q. ВЬIПУЮIОСТЬ эпюры ® ГТТJ::-ь ‘3—ll I I М обращена в сторону действо распределенной наrруз:
к:в. 1 F . 4. В сечении, r де приложена сосредоточенная сила F,
..,.,· i _ .,.1 на эпюре Q будет схачо1е, равный значению этой силы. и направленный в ту же сrороиу (при построевви эпюры @ r.. ..l ,,_ ……t. .. v…..,_.._ слева направо), а эшора М будет иметь перелом, направ-
F 1 1 ! 1 леННЬiй в сторону действо силы F ..
- В сечении, rде приложен сосрсдоточеввыl изгиба-
® · ющий момент на эпюре М, будет а:ачох, paJUJWЙ звачем
mmnm. вию момента М; на эпюре Q изменений не будет. При
~ этом напt,ааленве сuчжа будет вниз (при построеиив
эпюры слева направо), если сосрсдоточt.ввыl момент
i_ • он , действует по ходу часовой стрелп:, и вверх, если против
-~ хода часовой стрелх:и. ® 1 1- 1 1 1 1 1 1 1 ! 1 При построении эпюр попереЧНЬIХ аш, и изгибающих
моментов будем придерпватьСJ1 следующих правил:
•
l. Положительные значено Q отuады::вать от базисной
горизонтальной линии вверх, а отрицательВЬiе — вввэ.
Пpuua постро_..
Q ■ М ■ балках - Эпюру М строить со стороВЬI распвутых ВОЛОIСОН,
т. е. положительВЬiе зиачеио М откладывать вввэ, таJС
жu: эти момеиТЬI, соrласно прввятому праввлу_ знаков,
вшывают распжение в:пrних волохов, а отрицательные
эначеНВJI — вверх.
За:мстим, что исμоJ1ЬЗуют и обратное правило:. эпюру
М строп со стороны сжатых воло1еои. Это правило
обычио приме11J1Ют в учебвых пособвп, предвазвачеивых
дл,1 студентов :маmввостровтельвых спецвап:ьвостей.
36
Кроме того, напомним замсчав:ве (см.§ 2.2), хоторое
упрощает запись выражений дл,1 Q и М:
поперечши, сим в поперечном сечении бfl:Al(II чисАеННО ptlllНQ
аАZебраическоа сумме проекциа tmeUIНUX си.А на· верmuка.Аlr.
ную ось у, прu.,rоженных ~ ocmtJllШellc.11 части бuки,· изги-


бающий момент — аАZебраической сумме моментоt1 э,тих
же CUA относитем,но горизонта.А.ЬНОй оси х, проходящей
через чентр тяжести сеченш~, .т. е.

Поэтому можно, мысленно представив оставшуюся часть
~ с приложеввоl JС вей ввеmвей вагруз1еой1 составить
выраже~ попереч:ных сил и изгибающих моментов, испо.
пьэуя зависимости (2.10) и правила зяцов дп Q и М,
првведепвые ранее.
Рассмотрим: нес1еолъ~о примеров построения эпюр
QиМ.