- При повороте двух взаимно перпендикулярных осей на 90° или при изменении направления одной из осей на противоположное центробежный момент инерции меняет знак.
В справедливости второго утверждения убеждаемся, изменив направление оси Ох на противоположное (рис. 2.4, б). При этом знак абсциссы всех точек сечения изменится на противоположный (х 1 = — х), поэтому
2. Ось симметрии сечения и любая ось, ей перпендикулярная, составляют пару главных осей. Пусть, например, сечение (рис. 2.5) симметрично относительно оси Оу. Тогда любому элементу площади dF, расположенному справа от оси Оу, соответствует симметрично расположенный элемент площади слева от оси Оу. Так как абсциссы х этих элементов отличаются только знаком, то все элементарные произведения xydF оказываются попарно равны и противоположны по знаку. Поэтому центробежный момент инерции всего сечения, как предел интегральной суммы, равен нулю
то есть оси Ох и Оу являются главными осями.
3. Главная центральная ось сечения и любая ось, ей перпендикулярная, составляют пару главных осей.
Пусть оси Ох и Оу являются главными центральными осями сечения (рис. 2.6). Тогда lxy=0. Ось 0 1 х 1 перпендикулярна к оси Оу.
Для определения центробежного момента инерции воспользуемся формулами (2.6):
Так как lxy=0, и из двух координат а и Ь центра тяжести в системе координат O 1 х 1у а=О, то lxy=0. Следовательно, оси О 1 х 1 и 0 1у составляют пару главньiх осей.
Если моменты инерции относительно двух взаимно перпендикулярных главных осей, проходящих через некоторую точку сечения, равны по величине, то все оси, проходящие через эту точку, также являются главными и моменты инерции относительно всех этих осей одинаковы.
К таким сечениям относятся, например, изображенные на рис. 2.8 сечения в виде круга, равностороннего треугольника, квадрата, правильного многоугольника. Осевые моменты инерции
у таких сечений относительно всех центральных осей одинаковы.